數學 B3 P3–P14｜國二完整解題

12 頁作業全部整理｜因式、餘式定理、公因式、提公因式與應用｜計算完整不跳步

只用國中二年級方法一次因式與餘式定理公因式提公因式分組因式分解答案預設收摺

解法範圍：本檔只使用這份國二講義中的因式分解、一次因式定理／餘式定理、比較係數、提公因式、分組與相反式等方法；不使用高中多項式除法技巧、二次公式或其他超範圍方法。所有解答皆預設收摺。

P3

4 個題組

課堂 ex1 因式分解的意義與一次項係數

(1) 下列四個式子展開化簡後都是 x²＋4x＋3，何者是它的因式分解？
① x(x＋4)＋3　② (x＋2)²－1　③ (x＋3)(x＋1)　④ x(x＋3)＋(x＋3)

(2) 若二次多項式可因式分解成 (2x－a)(x＋b)，則此二次多項式的一次項係數為何？
① 2a＋b　② a＋2b　③ −a＋2b　④ a−2b

展開完整解題與答案

本題重點：因式分解是「乘積形式」；要找係數時可直接用乘法分配律展開。

(1)
「因式分解」要把多項式寫成幾個多項式相乘的形式。

③ (x＋3)(x＋1) 已經是乘積形式，而且：
(x＋3)(x＋1)
＝x²＋x＋3x＋3
＝x²＋4x＋3。

其餘 ①、②、④ 雖然化簡後也等於 x²＋4x＋3，但還不是完整的乘積形式。
所以選 ③。

(2)
展開：
(2x－a)(x＋b)
＝2x²＋2bx－ax－ab
＝2x²＋(2b－a)x－ab。

所以一次項係數＝2b－a＝−a＋2b，選 ③。

答案(1) ③　(2) ③，−a＋2b

課堂 ex2 因式與倍式

已知 3x²＋x－10＝(3x－5)(x＋2)，下列哪一個敘述正確？
① 3x²＋x－10 為 3x－5 的倍式
② 3x－5 為 3x²＋x－10 的倍式
③ x＋2 為 3x²＋x－10 的倍式
④ 3x²＋x－10 為 x＋2 的因式

展開完整解題與答案

本題重點：A＝B×C 時，B、C 是 A 的因式；A 是 B、C 的倍式。

因為：
3x²＋x－10＝(3x－5)(x＋2)。

所以 3x－5 與 x＋2 都是 3x²＋x－10 的因式；
反過來，3x²＋x－10 是 3x－5 與 x＋2 的倍式。

因此正確的是 ①。

答案①

課堂 ex3 由因式分解判斷因式

已知 3x²－21x－24＝3(x＋1)(x－8)，下列何者是 3x²－21x－24 的因式？
① x－1　② x＋8　③ 3x＋3　④ 3x－8

展開完整解題與答案

本題重點：常數可以和一次因式合併，例如 3(x＋1)=3x＋3。

原式：
3x²－21x－24
＝3(x＋1)(x－8)。

把 3 和 (x＋1) 合在一起：
3(x＋1)＝3x＋3。

因此：
3x²－21x－24＝(3x＋3)(x－8)。

所以 3x＋3 是原多項式的因式，選 ③。

答案③ 3x＋3

課堂 ex4 由指定因式分解求係數

已知 4x²＋4x－15 可因式分解成 (2x＋5)(ax＋b)，求 a＋b。

展開完整解題與答案

本題重點：把兩邊展開後，比較同次項係數。

先展開右式：
(2x＋5)(ax＋b)
＝2ax²＋2bx＋5ax＋5b
＝2ax²＋(2b＋5a)x＋5b。

與 4x²＋4x－15 比較。

x² 項：
2a＝4
a＝2。

常數項：
5b＝−15
b＝−3。

檢查一次項：
2b＋5a＝2(−3)＋5(2)
＝−6＋10
＝4，符合。

所以：
a＋b＝2＋(−3)＝−1。

答案−1

P4

3 個題組

第6題一次因式與餘式定理

已知 A 為一多項式，且：
(1) A÷(x＋3) 的餘式為 0
(2) A÷(x＋1) 的餘式為 6
(3) A÷(2x＋5) 的餘式為 0

哪些敘述正確？
(A) x＋3 是 A 的因式
(B) x＋1 是 A 的因式
(C) x＋1 是 A－6 的因式
(D) (x＋3)(2x＋5) 是 A 的因式

展開完整解題與答案

本題重點：除以一次式餘數為 0 ⇔ 該一次式是因式。

(A)
A÷(x＋3) 餘式為 0，所以 x＋3 是 A 的因式。
因此 A 正確。

(B)
A÷(x＋1) 餘式為 6，不是 0，
所以 x＋1 不是 A 的因式。B 錯。

(C)
A÷(x＋1) 餘式為 6，表示令 x＝−1 時：
A(−1)＝6。
因此：
(A－6) 在 x＝−1 時的值＝6－6＝0。
所以 x＋1 是 A－6 的因式。C 正確。

(D)
由題意：
A(−3)＝0，且 A(−52)＝0。
所以 x＋3 與 2x＋5 都是 A 的一次因式。

再說明為什麼兩個可以一起提出：
先寫 A＝(x＋3)Q。
令 x＝−52：
0＝A(−52)
＝(−52＋3)Q(−52)
＝12Q(−52)。
所以 Q(−52)＝0，故 2x＋5 也是 Q 的因式。

因此：
A＝(x＋3)(2x＋5)R，
所以 (x＋3)(2x＋5) 是 A 的因式。D 正確。

答案A、C、D

觀念填空一次因式定理

完成講義中的觀念填空：
(1) 若 (x－a) 為多項式 A(x) 的因式，令 x＝＿＿代入 A 中，必使其值＝＿＿。
(2) A(x)＝(x－a)·Q，令 x＝＿＿，可得到什麼結果？

展開完整解題與答案

本題重點：一次因式定理是本單元判斷一次因式的核心。

(1)
若 x－a 是 A(x) 的因式，
則 A(x)＝(x－a)Q(x)。
令 x＝a：
A(a)＝(a－a)Q(a)
＝0×Q(a)
＝0。

所以填：a、0。

(2)
令 x＝a：
A(a)＝(a－a)Q(a)＝0。

所以填：a，A(a)＝0。

答案(1) a、0　(2) a，得到 A(a)＝0

第7題用一次因式定理求整數參數

已知 m、n 為整數：
(1) 2x－3 是 4x²－2x＋m 的因式，求 m。
(2) 2x－1 是 4x²－nx＋7 的因式，求 n。

展開完整解題與答案

本題重點：若 ax+b 是因式，就先解 ax+b=0，再代入原多項式令值為 0。

(1)
2x－3＝0 時：
x＝32。

因為 2x－3 是因式，所以代入後多項式值必為 0：
4(32)²－2(32)＋m＝0
4×94－3＋m＝0
9－3＋m＝0
6＋m＝0
所以 m＝−6。

(2)
2x－1＝0 時：
x＝12。

代入：
4(12)²－n(12)＋7＝0
4×14－n2＋7＝0
1－n2＋7＝0
8－n2＝0
n2＝8
所以 n＝16。

答案(1) m＝−6　(2) n＝16

P5

3 個題組

第8題由指定因式分解求 m、a

將 3x²－5x＋m 因式分解成 (3x＋1)(x＋a)，求 m 與 a。

展開完整解題與答案

本題重點：把因式乘開後比較係數。

展開右式：
(3x＋1)(x＋a)
＝3x²＋3ax＋x＋a
＝3x²＋(3a＋1)x＋a。

與 3x²－5x＋m 比較。

一次項：
3a＋1＝−5
3a＝−6
a＝−2。

常數項：
m＝a＝−2。

所以：
a＝−2，m＝−2。

答案m＝−2，a＝−2

第9題兩個一次因式與三次式因式分解

若 x³－2x²＋ax＋b 為 (x－2)(x＋1) 的倍式，求 a、b，並將 x³－2x²＋ax＋b 因式分解。

展開完整解題與答案

本題重點：兩個一次因式各自代入根，再用係數比較找最後一個一次因式。

設 P(x)＝x³－2x²＋ax＋b。

因為 x－2 是因式：
P(2)＝0。
2³－2×2²＋2a＋b＝0
8－8＋2a＋b＝0
所以：
2a＋b＝0。……①

因為 x＋1 是因式：
P(−1)＝0。
(−1)³－2(−1)²－a＋b＝0
−1－2－a＋b＝0
所以：
−a＋b−3＝0
b＝a＋3。……②

把②代入①：
2a＋(a＋3)＝0
3a＋3＝0
3a＝−3
a＝−1。

b＝a＋3＝−1＋3＝2。

因此原式：
P(x)＝x³－2x²－x＋2。

已知它有 (x－2)(x＋1)，所以設：
P(x)＝(x－2)(x＋1)(x＋c)。

先算：
(x－2)(x＋1)
＝x²－x－2。

再乘 (x＋c)：
(x²－x－2)(x＋c)
＝x³＋(c－1)x²＋(−c－2)x－2c。

與 x³－2x²－x＋2 比較 x² 項：
c－1＝−2
c＝−1。

所以：
P(x)＝(x－2)(x＋1)(x－1)。

答案a＝−1，b＝2；(x－2)(x＋1)(x－1)

課堂 ex1 一次因式定理與另一因式

已知 x－2 是 2x²＋5x＋k 的因式。
(1) 求 k。
(2) 下列哪一個也是 2x²＋5x＋k 的因式？
① 2x＋5　② 2x－7　③ 2x＋9　④ 2x－11

展開完整解題與答案

本題重點：已知一個因式後，可設另一個一次式並比較係數。

(1)
x－2 是因式，所以令 x＝2：
2(2²)＋5(2)＋k＝0
8＋10＋k＝0
18＋k＝0
所以 k＝−18。

(2)
原式變成：
2x²＋5x－18。

因為已知 x－2 是因式，設：
2x²＋5x－18＝(x－2)(2x＋c)。

展開：
(x－2)(2x＋c)
＝2x²＋(c－4)x－2c。

比較一次項：
c－4＝5
c＝9。

所以另一因式是 2x＋9，選 ③。

答案(1) k＝−18　(2) ③ 2x＋9

P6

4 個題組

課堂 ex2 一次因式定理求 m 並完成因式分解

若 6x²－mx－6 是 2x－3 的倍式，求 m，並完成因式分解。

展開完整解題與答案

本題重點：先用一次因式定理求參數，再補出另一個一次因式。

因為 2x－3 是因式：
2x－3＝0 → x＝32。

代入 6x²－mx－6：
6(32)²－m(32)－6＝0
6×94－3m2－6＝0
544－6－3m2＝0
272－122－3m2＝0
15−3m2＝0
15－3m＝0
m＝5。

所以原式：
6x²－5x－6。

已知有因式 2x－3，設另一因式為 3x＋c：
(2x－3)(3x＋c)
＝6x²＋(2c－9)x－3c。

比較常數項：
−3c＝−6
c＝2。

因此：
6x²－5x－6＝(2x－3)(3x＋2)。

答案m＝5；(2x－3)(3x＋2)

第10題公因式判斷

下列多項式中，哪些是 −4x 與 x³ 的公因式？
(A) x　(B) x²　(C) x³　(D) −4

展開完整解題與答案

本題重點：依本講義的多項式定義，係數可為分數；只要相除後仍是多項式，就可視為因式。

逐一檢查是否能同時整除 −4x 與 x³。

(A) x
−4x÷x＝−4；x³÷x＝x²。
兩個商都是多項式，所以 x 是公因式。

(B) x²
−4x÷x²＝−4x，不是多項式，
所以 x² 不是公因式。

(C) x³
−4x÷x³＝−4x²，不是多項式，
所以 x³ 不是公因式。

(D) −4
−4x÷(−4)＝x；
x³÷(−4)＝−14x³，仍是多項式。
所以 −4 也是公因式。

因此答案為 A、D。

答案A、D

第11題利用共同一次因式求 a、b

若 2x²＋ax－3 與 6x²＋x＋b 有公因式 x－1，求 a、b。

展開完整解題與答案

本題重點：共同的一次因式代表同一個代入值會讓兩個多項式都變成 0。

因為 x－1 是兩個多項式的因式，所以令 x＝1，兩式都要等於 0。

第一式：
2(1)²＋a(1)－3＝0
2＋a－3＝0
a－1＝0
所以 a＝1。

第二式：
6(1)²＋1＋b＝0
6＋1＋b＝0
7＋b＝0
所以 b＝−7。

答案a＝1，b＝−7

第12題公因式與提公因式

已知 A＝(2x＋3)(3x－1)，B＝(3x－1)(4x－3)。
(1) 哪一個是 A 與 B 的公因式？
(A) x－3　(B) 2x＋3　(C) 3x－1　(D) 4x－3
(2) 利用提公因式將 A－B 因式分解。

展開完整解題與答案

本題重點：兩項都有相同因式時，先把共同因式提出來。

(1)
A＝(2x＋3)(3x－1)
B＝(3x－1)(4x－3)。

共同出現的是 3x－1，所以選 C。

(2)
A－B
＝(2x＋3)(3x－1)－(3x－1)(4x－3)
＝(3x－1)[(2x＋3)－(4x－3)]
＝(3x－1)(2x＋3－4x＋3)
＝(3x－1)(−2x＋6)
＝2(3x－1)(3－x)。

答案(1) C，3x－1　(2) 2(3x－1)(3－x)

P7

3 個題組

第13題找有一次公因式的一組

已知：
P＝6x²－2x
Q＝(2x＋1)(2x－1)
R＝(2x＋1)(6x－3)－x(6x－3)

下列哪一組有一次公因式？
(A) P、Q　(B) Q、R　(C) P、R　(D) 以上皆無

展開完整解題與答案

本題重點：先把每個式子都因式分解，再找共同的一次因式。

先把三個多項式因式分解。

P＝6x²－2x
＝2x(3x－1)。

Q＝(2x＋1)(2x－1)。

R＝(2x＋1)(6x－3)－x(6x－3)
＝(6x－3)[(2x＋1)－x]
＝(6x－3)(x＋1)
＝3(2x－1)(x＋1)。

比較因式：
Q 與 R 都含有 2x－1。

所以有一次公因式的是 Q、R，選 B。

答案B，Q、R

課堂 ex1 公因式判斷

下列哪一個是 3x(2x－1) 與 4(2x－1)² 的公因式？
① 2x　② 2x－1　③ (2x－1)²　④ 2x(2x－1)

展開完整解題與答案

本題重點：共同因式的次方不能超過任何一個式子中實際擁有的次方。

第一個式子：
3x(2x－1)。

第二個式子：
4(2x－1)²
＝4(2x－1)(2x－1)。

兩式都含有 2x－1。
但第一式只有一個 2x－1，所以 (2x－1)² 不是公因式。

答案為 ② 2x－1。

答案② 2x－1

課堂 ex2 常數倍的公因式

下列哪些是 (2x＋6)(4x－3) 與 (5x－1)(x＋3) 的公因式？
① x＋3　② 2x＋6　③ 4x－3　④ 5x－1

展開完整解題與答案

本題重點：同一個一次因式乘上一個非零常數後，仍可能是多項式的因式。

先把 2x＋6 改寫：
2x＋6＝2(x＋3)。

第一個式子：
(2x＋6)(4x－3)
＝2(x＋3)(4x－3)。

第二個式子：
(5x－1)(x＋3)。

所以 x＋3 明顯是兩式的公因式。

再看 2x＋6：
第二個式子可寫成：
(5x－1)(x＋3)
＝(2x＋6)·5x－12。

5x－12 仍是一個一次多項式，
因此依本講義的因式定義，2x＋6 也可作為公因式。

③ 4x－3 只出現在第一式；④ 5x－1 只出現在第二式。

所以答案為 ①、②。

答案①、②

P8

3 個題組

觀念填空 (a－b) 與 (b－a) 的關係

完成講義中的關係式：
(a－b)=＿＿
(a－b)²=＿＿
(a－b)³=＿＿
(a－b)^奇=＿＿
(a－b)^偶=＿＿

展開完整解題與答案

本題重點：先把 a－b 看成 −(b－a)，再判斷奇次方或偶次方。

因為：
a－b＝−(b－a)。

所以：
(a－b)²＝[−(b－a)]²＝(b－a)²。

(a－b)³＝[−(b－a)]³＝−(b－a)³。

一般化：
奇次方時，負號會保留：
(a－b)^奇＝−(b－a)^奇。

偶次方時，負號會消失：
(a－b)^偶＝(b－a)^偶。

答案−(b－a)；(b－a)²；−(b－a)³；−(b－a)^奇；(b－a)^偶

第14題提出公因式

因式分解：
(1) x－3x²
(2) 3x²＋6x

展開完整解題與答案

本題重點：先找每一項共同的數字因數與文字因數。

(1)
x－3x²
兩項都有 x：
＝x(1－3x)。

所以答案為 x(1－3x)。

(2)
3x²＋6x
兩項都有 3x：
＝3x(x＋2)。

所以答案為 3x(x＋2)。

答案(1) x(1－3x)　(2) 3x(x＋2)

第15題整體式提公因式

因式分解：
(1) x(2x＋5)－x(x－1)
(2) (x＋2)²＋3(x＋2)
(3) (3x－1)(2x－5)－3x＋1

展開完整解題與答案

本題重點：把重複出現的括號視為一個整體，就能直接提出。

(1)
x(2x＋5)－x(x－1)
＝x[(2x＋5)－(x－1)]
＝x(2x＋5－x＋1)
＝x(x＋6)。

(2)
(x＋2)²＋3(x＋2)
＝(x＋2)[(x＋2)＋3]
＝(x＋2)(x＋5)。

(3)
注意：
−3x＋1＝−(3x－1)。

所以：
(3x－1)(2x－5)－3x＋1
＝(3x－1)(2x－5)－(3x－1)
＝(3x－1)[(2x－5)－1]
＝(3x－1)(2x－6)
＝2(3x－1)(x－3)。

答案(1) x(x＋6)　(2) (x＋2)(x＋5)　(3) 2(3x－1)(x－3)

P9

2 個題組

第16題利用相反式提出公因式

因式分解：
(1) x(x－3)－2(3－x)
(2) (x－3)(x－2)－(x－4)(2－x)

展開完整解題與答案

本題重點：看到 3−x、2−x 這類相反式，先改成 −(x−3)、−(x−2)。

(1)
因為：
3－x＝−(x－3)。

所以：
x(x－3)－2(3－x)
＝x(x－3)＋2(x－3)
＝(x－3)(x＋2)。

答案：(x－3)(x＋2)。

(2)
因為：
2－x＝−(x－2)。

原式：
(x－3)(x－2)－(x－4)(2－x)
＝(x－3)(x－2)+(x－4)(x－2)
＝(x－2)[(x－3)+(x－4)]
＝(x－2)(2x－7)。

答案：(x－2)(2x－7)。

答案(1) (x－3)(x＋2)　(2) (x－2)(2x－7)

第17題平方與相反式的共同因式

因式分解：
(1) 4x(x－1)＋(1－x)²
(2) (5x－2)²－4x(2－5x)
(3) (2x－1)²－2(2x－1)(1－x)
(4) (6x－4)＋(2－3x)²

展開完整解題與答案

本題重點：平方會消掉相反號；若括號重複出現，就先提括號因式。

(1)
(1－x)²＝(x－1)²。
所以：
4x(x－1)+(x－1)²
＝(x－1)[4x+(x－1)]
＝(x－1)(5x－1)。

(2)
2－5x＝−(5x－2)。
所以：
(5x－2)²－4x(2－5x)
＝(5x－2)²＋4x(5x－2)
＝(5x－2)[(5x－2)+4x]
＝(5x－2)(9x－2)。

(3)
直接提出 2x－1：
(2x－1)[(2x－1)−2(1－x)]
＝(2x－1)(2x－1−2+2x)
＝(2x－1)(4x－3)。

(4)
6x－4＝2(3x－2)，
(2－3x)²＝(3x－2)²。

所以：
2(3x－2)+(3x－2)²
＝(3x－2)[2+(3x－2)]
＝(3x－2)(3x)
＝3x(3x－2)。

答案(1) (x－1)(5x－1)
(2) (5x－2)(9x－2)
(3) (2x－1)(4x－3)
(4) 3x(3x－2)

P10

3 個題組

第18題分組提公因式

P10

因式分解：
(1) (4x²－7x)＋(8x－14)
(2) (2x²＋4x)－(7x＋14)
(3) (x²－13a)＋(a－13)x
(4) −4mx－8ny＋8nz＋8nx＋4my－4mz

展開完整解題與答案

本題重點：分組後，每一組要製造出相同的括號因式。

(1)
(4x²－7x)+(8x－14)
＝x(4x－7)+2(4x－7)
＝(4x－7)(x＋2)。

(2)
(2x²＋4x)－(7x＋14)
＝2x(x＋2)－7(x＋2)
＝(x＋2)(2x－7)。

(3)
先重新排列：
x²+(a－13)x－13a
＝x²－13x+ax－13a
＝x(x－13)+a(x－13)
＝(x＋a)(x－13)。

(4)
依 m 項與 n 項分組：
(−4mx+4my−4mz)+(8nx−8ny+8nz)
＝−4m(x－y＋z)+8n(x－y＋z)
＝(−4m+8n)(x－y＋z)
＝4(2n－m)(x－y＋z)。

答案(1) (4x－7)(x＋2)
(2) (x＋2)(2x－7)
(3) (x＋a)(x－13)
(4) 4(2n－m)(x－y＋z)

第19題展開後再分組因式分解

P10

因式分解：
(1) x(x－1)(x－2)－6
(2) 16ax＋13x－12a－1

展開完整解題與答案

本題重點：有時先展開反而比較容易分組；分數係數可先通分。

(1)
先把前面乘開：
(x－1)(x－2)
＝x²－3x＋2。

再乘 x：
x(x²－3x＋2)－6
＝x³－3x²＋2x－6。

分組：
＝(x³－3x²)+(2x－6)
＝x²(x－3)+2(x－3)
＝(x－3)(x²＋2)。

(2)
前兩項先提出 x：
16ax＋13x
＝x(a6+13)
＝x(a6+26)
＝x(a＋2)6。

後兩項：
−12a－1
＝−(a2+1)
＝−a＋22。

因此：
x(a＋2)6−a＋22
＝(a＋2)(x6−12)
＝(a＋2)(x6−36)
＝16(a＋2)(x－3)。

答案(1) (x－3)(x²＋2)
(2) 16(a＋2)(x－3)

課堂 ex1 最基本的提公因式

P10

因式分解：
(1) 3x²－x
(2) 6x＋5x²

展開完整解題與答案

本題重點：共同文字因式是 x。

(1)
3x²－x
＝x(3x－1)。

(2)
6x＋5x²
＝x(6＋5x)
＝x(5x＋6)。

答案(1) x(3x－1)　(2) x(5x＋6)

P11

3 個題組

課堂 ex2 提公因式與相反式

P11

因式分解：
(1) x(x－3)－3x²
(2) (x－4)²＋(x－4)
(3) (3x＋4)(2x－5)－(2x－5)²

展開完整解題與答案

本題重點：先找完全相同的括號因式。

(1)
x(x－3)－3x²
＝x[(x－3)－3x]
＝x(x－3－3x)
＝x(−2x－3)
＝−x(2x＋3)。

(2)
(x－4)²+(x－4)
＝(x－4)[(x－4)+1]
＝(x－4)(x－3)。

(3)
(3x＋4)(2x－5)－(2x－5)²
＝(2x－5)[(3x＋4)－(2x－5)]
＝(2x－5)(3x＋4－2x＋5)
＝(2x－5)(x＋9)。

答案(1) −x(2x＋3)　(2) (x－4)(x－3)　(3) (2x－5)(x＋9)

課堂 ex3 把相反式改成同一因式

P11

因式分解：
(1) 5x(3－x)－10(x－3)
(2) (3x－4)(3x＋1)＋(4－3x)(2x－1)

展開完整解題與答案

本題重點：先把相反式統一成同一個括號，再提公因式。

(1)
3－x＝−(x－3)。

5x(3－x)－10(x－3)
＝−5x(x－3)−10(x－3)
＝−5(x－3)(x＋2)
＝−5(x＋2)(x－3)。

(2)
4－3x＝−(3x－4)。

(3x－4)(3x＋1)+(4－3x)(2x－1)
＝(3x－4)(3x＋1)−(3x－4)(2x－1)
＝(3x－4)[(3x＋1)−(2x－1)]
＝(3x－4)(x＋2)。

答案：(3x－4)(x＋2)。

答案(1) −5(x＋2)(x－3)　(2) (3x－4)(x＋2)

課堂 ex4 平方與相反式

P11

因式分解：
(1) (5－2x)²－(2x－5)(x－5)
(2) 2(x－1)(x－3)－(1－x)(3x＋5)

展開完整解題與答案

本題重點：偶次方可消除相反號；一次式則要先提出負號。

(1)
(5－2x)²＝(2x－5)²。

所以：
(2x－5)²－(2x－5)(x－5)
＝(2x－5)[(2x－5)－(x－5)]
＝(2x－5)(2x－5－x＋5)
＝x(2x－5)。

(2)
1－x＝−(x－1)。

2(x－1)(x－3)－(1－x)(3x＋5)
＝2(x－1)(x－3)+(x－1)(3x＋5)
＝(x－1)[2(x－3)+(3x＋5)]
＝(x－1)(2x－6＋3x＋5)
＝(x－1)(5x－1)。

答案(1) x(2x－5)　(2) (x－1)(5x－1)

P12

3 個題組

課堂 ex5 分組與直接提公因式

P12

因式分解：
(1) (4x²＋6x)＋(10x＋15)
(2) (4x－3)(3x－1)－(4x－3)

展開完整解題與答案

本題重點：同一括號因式若只出現一次，也可以視為乘以 1。

(1)
(4x²＋6x)+(10x＋15)
＝2x(2x＋3)+5(2x＋3)
＝(2x＋3)(2x＋5)。

(2)
(4x－3)(3x－1)－(4x－3)
＝(4x－3)[(3x－1)−1]
＝(4x－3)(3x－2)。

答案：(4x－3)(3x－2)。

答案(1) (2x＋3)(2x＋5)　(2) (4x－3)(3x－2)

第20題因式分解後快速求值

P12

(1) 因式分解 (x－9)²－5x＋45。
(2) 利用 (1) 的結果，計算 (114－9)²－5×114＋45。

展開完整解題與答案

本題重點：先因式分解，再代入大數，可避免繁瑣平方。

(1)
−5x＋45＝−5(x－9)。

所以：
(x－9)²－5x＋45
＝(x－9)²−5(x－9)
＝(x－9)[(x－9)−5]
＝(x－9)(x－14)。

(2)
由 (1)，令 x＝114：
(114－9)²−5×114＋45
＝(114－9)(114－14)
＝105×100
＝10500。

答案(1) (x－9)(x－14)　(2) 10500

第21題由因式分解形式求參數

P12

已知 (2x－1)＋(2x²－x) 可因式分解為 (2x－1)(x＋a)，求 a。

展開完整解題與答案

本題重點：先把每一項都改寫成含有 2x−1 的形式。

原式：
(2x－1)+(2x²－x)。

注意：
2x²－x＝x(2x－1)。

所以：
(2x－1)+x(2x－1)
＝(2x－1)(1+x)
＝(2x－1)(x＋1)。

與 (2x－1)(x＋a) 比較：
a＝1。

答案a＝1

P13

2 個題組

第22題由被遮住的步驟反推共同因式

P13

飲料打翻後，因式分解過程的一部分被模糊。可看到：

【模糊】(x－2)－【模糊】(2x－5)
＝【模糊】[(x－2)－(2x－5)]
＝【模糊】
＝(x－3)(x－1)

若運算過程都正確，求被模糊的共同因式與中間式。

展開完整解題與答案

本題重點：從最後答案反推時，要特別利用「相反式」的負號關係。

由第二行可知，第一行前後兩項一定有相同的共同因式。
設共同因式為 K。

則：
K[(x－2)－(2x－5)]
＝K(x－2－2x＋5)
＝K(3－x)。

最後答案是：
(x－3)(x－1)。

注意：
3－x＝−(x－3)。
若要得到兩個負號相消：
K 應該是 1－x＝−(x－1)。

驗算：
(1－x)(3－x)
＝[−(x－1)][−(x－3)]
＝(x－1)(x－3)
＝(x－3)(x－1)。

所以被模糊的共同因式是 1－x，中間式為 (1－x)(3－x)。

答案共同因式＝1－x；中間式＝(1－x)(3－x)

第23題面積模型與因式分解

P13

如圖有四種類型的四邊形：甲為 x×x、乙為 b×x、丙為 x×1、丁為 b×1。共有 2 個甲、1 個乙、2 個丙、1 個丁。

甲

x × x

乙

b × x

丙

x × 1

丁

b × 1

(1) 2 個甲＋1 個乙可拼成長方形，求兩鄰邊。
(2) 2 個丙＋1 個丁可拼成長方形，求兩鄰邊。
(3) 6 個圖形全部拼成一個長方形，求兩鄰邊。

展開完整解題與答案

本題重點：把圖形面積相加，再以因式分解把「面積」還原成「長×寬」。

(1)
2 個甲面積＝2x²。
1 個乙面積＝bx。

總面積：
2x²＋bx
＝x(2x＋b)。

因此長方形兩鄰邊可為：
x、2x＋b。

(2)
2 個丙面積＝2x。
1 個丁面積＝b。

總面積：
2x＋b
＝1(2x＋b)。

因此兩鄰邊為：
1、2x＋b。

(3)
六個圖形總面積：
2x²＋bx＋2x＋b。

分組：
＝(2x²＋bx)+(2x＋b)
＝x(2x＋b)+1(2x＋b)
＝(x＋1)(2x＋b)。

因此大長方形兩鄰邊為：
x＋1、2x＋b。

答案(1) x、2x＋b　(2) 1、2x＋b　(3) x＋1、2x＋b

P14

4 個題組

課堂 ex1 提公因式後代入小數

P14

當 x＝0.8、y＝2.75，求 4x(y－2)－3x(y－2) 的值。

展開完整解題與答案

本題重點：先化簡再代入，數字計算會簡單很多。

先提公因式，不要急著代小數：
4x(y－2)－3x(y－2)
＝(y－2)(4x－3x)
＝x(y－2)。

代入 x＝0.8、y＝2.75：
0.8(2.75－2)
＝0.8×0.75
＝0.6。

答案0.6

課堂 ex2 因式分解後快速計算

P14

(1) 因式分解 6x－30－(x－5)²。
(2) 承 (1)，計算 6×111－30－(111－5)²。

展開完整解題與答案

本題重點：把大數代入放到最後，先利用因式分解簡化。

(1)
6x－30＝6(x－5)。

所以：
6x－30－(x－5)²
＝6(x－5)−(x－5)²
＝(x－5)[6−(x－5)]
＝(x－5)(11－x)
＝−(x－5)(x－11)。

(2)
由 (1)，令 x＝111：
6×111－30－(111－5)²
＝−(111－5)(111－11)
＝−106×100
＝−10600。

答案(1) −(x－5)(x－11)　(2) −10600

課堂 ex3 兩項都有相同括號因式

P14

已知 (13x－9)(23x－11)－(13x－9)(11x－7) 可因式分解成 (ax＋b)(12x＋c)，其中 a、b、c 均為整數，求 a＋b＋c。

展開完整解題與答案

本題重點：先提共同括號，再直接比較兩個一次因式的係數。

原式兩項都有 13x－9：
(13x－9)(23x－11)−(13x－9)(11x－7)
＝(13x－9)[(23x－11)−(11x－7)]
＝(13x－9)(23x－11−11x＋7)
＝(13x－9)(12x－4)。

與 (ax＋b)(12x＋c) 比較：
a＝13
b＝−9
c＝−4。

所以：
a＋b＋c
＝13−9−4
＝0。

答案0

課堂 ex4 面積總和反推大長方形周長

P14

如圖有 A、B、C、D 四種矩形：A 為 a×x、B 為 x×x、C 為 a×1、D 為 x×1。共有 9 個 A、12 個 B、3 個 C、4 個 D，全部拼成一個大矩形，求大矩形周長。

a × x

x × x

a × 1

x × 1

展開完整解題與答案

本題重點：圖形拼接題先用「總面積」建立多項式，再因式分解得到長與寬。

先算全部圖形面積：
9 個 A：9ax
12 個 B：12x²
3 個 C：3a
4 個 D：4x。

總面積：
12x²＋9ax＋4x＋3a。

分組：
＝(12x²＋4x)+(9ax＋3a)
＝4x(3x＋1)+3a(3x＋1)
＝(3x＋1)(4x＋3a)。

所以大矩形的兩邊可為：
3x＋1、4x＋3a。

周長：
2[(3x＋1)+(4x＋3a)]
＝2(7x＋3a＋1)
＝14x＋6a＋2。

答案14x＋6a＋2

全部答案彙整

詳細計算請回到各題展開查看。

P3

課堂 ex1(1) ③　(2) ③，−a＋2b

課堂 ex2①

課堂 ex3③ 3x＋3

課堂 ex4−1

P4

第6題A、C、D

觀念填空(1) a、0　(2) a，得到 A(a)＝0

第7題(1) m＝−6　(2) n＝16

P5

第8題m＝−2，a＝−2

第9題a＝−1，b＝2；(x－2)(x＋1)(x－1)

課堂 ex1(1) k＝−18　(2) ③ 2x＋9

P6

課堂 ex2m＝5；(2x－3)(3x＋2)

第10題A、D

第11題a＝1，b＝−7

第12題(1) C，3x－1　(2) 2(3x－1)(3－x)

P7

第13題B，Q、R

課堂 ex1② 2x－1

課堂 ex2①、②

P8

觀念填空−(b－a)；(b－a)²；−(b－a)³；−(b－a)^奇；(b－a)^偶

第14題(1) x(1－3x)　(2) 3x(x＋2)

第15題(1) x(x＋6)　(2) (x＋2)(x＋5)　(3) 2(3x－1)(x－3)

P9

第16題(1) (x－3)(x＋2)　(2) (x－2)(2x－7)

第17題(1) (x－1)(5x－1)
(2) (5x－2)(9x－2)
(3) (2x－1)(4x－3)
(4) 3x(3x－2)

P10

第18題(1) (4x－7)(x＋2)
(2) (x＋2)(2x－7)
(3) (x＋a)(x－13)
(4) 4(2n－m)(x－y＋z)

第19題(1) (x－3)(x²＋2)
(2) 16(a＋2)(x－3)

課堂 ex1(1) x(3x－1)　(2) x(5x＋6)

P11

課堂 ex2(1) −x(2x＋3)　(2) (x－4)(x－3)　(3) (2x－5)(x＋9)

課堂 ex3(1) −5(x＋2)(x－3)　(2) (3x－4)(x＋2)

課堂 ex4(1) x(2x－5)　(2) (x－1)(5x－1)

P12

課堂 ex5(1) (2x＋3)(2x＋5)　(2) (4x－3)(3x－2)

第20題(1) (x－9)(x－14)　(2) 10500

第21題a＝1

P13

第22題共同因式＝1－x；中間式＝(1－x)(3－x)

第23題(1) x、2x＋b　(2) 1、2x＋b　(3) x＋1、2x＋b

P14

課堂 ex10.6

課堂 ex2(1) −(x－5)(x－11)　(2) −10600

課堂 ex30

課堂 ex414x＋6a＋2